Question

5．已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25及直线l，且直线l过点（3，1）．
（1）证明：直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．

Answer 1

分析 （1）利用两点间的距离公式求出AC之间的距离d，判断d小于半径5，得证；
（2）根据圆的对称性可得过点A最长的弦是直径，最短的弦是过A垂直于直径的弦，所以连接AC，过A作AC的垂线，此时的直线与圆C相交于B、D，弦BD为最短的弦，接下来求BD的长，根据垂径定理可得A是BD的中点，利用（1）圆心C到BD的距离其实就是|AC|的长和圆的半径|BC|的长，根据勾股定理可求出$\frac{1}{2}$|BD|的长，求得|BD|的长即为最短弦的长；根据点A和点C的坐标求出直线AC的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为-1求出直线BD的斜率，又直线BD过A（3，1），根据斜率与A点坐标即可写出直线l的方程．

解答 解：（1）直线l过点A（3，1）．
又因为点A（3，1）与圆心C（1，2）的距离d=$\sqrt{5}$＜5，
所以该点在C内，故不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交．
（2）连接AC，当直线l是AC的垂线时，此时的直线l与圆C相交于B、D．BD为直线l被圆所截得的最短弦长．
此时，|AC|=$\sqrt{5}$，|BC|=5，所以|BD|=4$\sqrt{5}$．即最短弦长为4$\sqrt{5}$．
又直线AC的斜率k_AC=-$\frac{1}{2}$，所以直线BD的斜率为2．
此时直线方程为：y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．

点评 本题考查学生会求两直线的交点坐标，会利用点到圆心的距离与半径的大小比较来判断点与圆的位置关系，灵活运用圆的垂径定理解决实际问题，掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据斜率与一点坐标写出直线的方程，是一道综合题．