题目内容
19．已知过函数f（x）=x3+ax2+1的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为-3．（1）求a、b的值；
（2）求m的取值范围，使不等式f（x）≤m-1987对于x∈[-1，4]恒成立．
分析 （1）求出原函数的导函数，利用在点B（1，b）的切线的斜率为-3列式求出a的值，再把点B的坐标代入函数解析式求a的值；
（2）求出导函数的零点，由零点对定义域分段，利用单调性求出函数f（x）在x∈[-1，4]上的最值，由最大值小于等于m-1987求解m的取值范围．
解答 解：（1）f′（x）=3x2+2ax
依题意得k=f′（1）=3+2a=-3，∴a=-3
∴f（x）=x3-3x2+1，把B（1，b）代入得b=f（1）=-1
∴a=-3，b=-1
（2）令f′（x）=3x2-6x=0得x=0或x=2
∵f（0）=1，f（2）=23-3×22+1=-3
f（-1）=-3，f（4）=17
∴x∈[-1，4]，-3≤f（x）≤17
要使f（x）≤m-1987对于x∈[-1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤m-1987
∴m≥2004．
点评 本题考查了利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，关键是掌握不等式恒成立时所取的条件．是中档题．
练习册系列答案
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9．已知函数f（x）=ax（a＞0且a≠1）和函数g（x）=sin$\frac{π}{2}$x，若f（x）的反函数为h（x），且h（x）与g（x）两图象只有3个交点，则a的取值范围是（ ）
| A． | $（\frac{1}{5}，1）∪（1，\frac{9}{2}）$ | B． | $（0，\frac{1}{7}）∪（1，\frac{9}{2}）$ | C． | $（\frac{1}{7}，\frac{1}{3}）∪（5，9）$ | D． | $（\frac{1}{7}，\frac{1}{2}）∪（3，9）$ |
8．
为了了解“中国好声音”在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人有关回答问题，统计结果如下图表．
（Ⅰ）分别求出a，b，x，y的值；
（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．
为了了解“中国好声音”在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人有关回答问题，统计结果如下图表．| 组号 | 分组 | 回答 正确 的人数 | 回答正确 的人数占本 组的频率 |
| 第1组 | [15，25） | a | 0.5 |
| 第2组 | [25，35） | 18 | x |
| 第3组 | [35，45） | b | 0.9 |
| 第4组 | [45，55） | 9 | 0.36 |
| 第5组 | [55，65] | 3 | y |
（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．
9．复数z1=-3+i，z2=1-i，则复数z=z1•z2在复平面内所对应的点在（ ）
| A． | 第一象限 | B． | 第二象限 | C． | 第三象限 | D． | 第四象限 |