题目内容

7.已知非零向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$的夹角为60°,$\overrightarrow c=\overrightarrow a-k\overrightarrow b(k∈R)$,则$\frac{|\overrightarrow a|}{|\overrightarrow c|}$的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

分析 根据条件求$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}=\frac{1}{{k}^{2}(\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|})^{2}-k(\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|})+1}$,从而需求$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}$的最大值:k=0时,显然$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}=1$;k≠0时,${k}^{2}(\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|})^{2}-k(\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|})+1$可以看成关于$\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$的二次函数,这样即可求其最小值为$\frac{3}{4}$,从而$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}$取到最大值$\frac{4}{3}$,从而求出$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值.

解答 解:${\overrightarrow{c}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2k\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{k}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}-k|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+{k}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}$;
∴$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}=\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}-k|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+{k}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\frac{1}{{k}^{2}(\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|})^{2}-k(\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|})+1}$;
(1)若k=0,则$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}=1$;
∴$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}=1$;
(2)若k≠0,${k}^{2}(\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|})^{2}-k(\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|})+1$的最小值为$\frac{4{k}^{2}-{k}^{2}}{4{k}^{2}}=\frac{3}{4}$,则:
$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}$取到最大值为$\frac{4}{3}$;
∴$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$取到最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$;
综上得$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
故答案为:$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

点评 考查数量积的计算公式,知道要求$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值,先去求$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}$,注意不要漏了k=0的情况,二次函数的最值的计算公式.

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