题目内容
【题目】如图,在三棱柱中,点
在平面
内运动,使得二面角
的平面角与二面角
的平面角互余,则点
的轨迹是( )
A. 一段圆弧 B. 椭圆的一部分 C. 抛物线 D. 双曲线的一支
【答案】D
【解析】
将三棱柱特殊化,看作底面以为直角的直角三角形,侧棱与底面垂直,然后设出点
的坐标,作出点Q在下底面的投影,由对称性知:点P与点Q的轨迹一致,研究点Q的轨迹即可.
不妨令三棱柱为直三棱柱,且底面是以
为直角的直角三角形,令侧棱长为m,以B的为坐标原点,BA方向为x轴,BC方向为y轴,
方向为z轴,建立空间直角坐标系,
设,所以
,过点
作以
于点
,作
于点
,
则即是二面角
的平面角,
即是二面角
的平面角,
所以,
又二面角的平面角与二面角
的平面角互余,所以
,即
,所以
,因
,所以
,
所以有,所以
,即点Q的轨迹是双曲线的一支,所以点
的轨迹是双曲线的一支.故选D
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