题目内容
【题目】设函数(
R).
(1)求函数在R上的最小值;
(2)若不等式在
上恒成立,求
的取值范围;
(3)若方程在
上有四个不相等的实数根,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】
(1)通过换元法将函数变形为二次函数,同时利用分类讨论的方法求解最大值;
(2)恒成立需要保证即可,对二次函数进行分析,根据取到最大值时的情况得到
的范围;
(3)通过条件将问题转化为二次函数在给定区间上有两个零点求的范围,这里将所有满足条件的不等式列出来,求解出
的范围.
解:(1)令,
,则
,对称轴为
.
①,即
,
.
②,即
,
.
③,即
,
.
综上可知,
(2)由题意可知,,
,
的图象是开口向上的抛物线,最大值一定在端点处取得,所以有
故
.
(3)令,
.由题意可知,当
时,
有两个不等实数解,所以原题可转化为
在
内有两个不等实数根.所以有
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