题目内容
已知椭圆的焦距为2,且过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左右焦点分别为,,过点的直线与椭圆C交于两点.
①当直线的倾斜角为时,求的长;
②求的内切圆的面积的最大值,并求出当的内切圆的面积取最大值时直线的方程.
(1)椭圆C的方程为;(2)(1)的长为;(2)当的内切圆的面积取最大值时直线的方程为.
解析试题分析:(1)由已知得,且,联立可求得椭圆方程;
(2)(1)联立椭圆与直线方程,由弦长公式可直接求出的长;(2)设直线的方程为,与椭圆方程联立消去,得,而;
利用均值不等式和函数单调性的性质可得当时,有最大值3,这时的内切圆面积的最大值为,直线的方程为.
试题解析:(1)由已知,得,且,解得,
故椭圆C的方程为; 4分
(2)①由,消去得, 6分
则; 9分
②设直线的方程为,由,得,显然,
设,则有,
设的内切圆半径为,由可知,
当最大时,也最大,的内切圆面积也最大.
由 12分
令,则,且,则,
令,则,从而在区间上单调递增,故有
所以,即当,时,有最大值3,即,
这时的内切圆面积的最大值为,直线的方程为. 14分
考点:椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系、函数与方程思想.
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