题目内容
已知椭圆经过点
,一个焦点为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与
轴交于点
,与椭圆
交于
两点,线段
的垂直平分线与
轴交于点
,求
的取值范围.
(1)椭圆的方程是
;(2)
的取值范围为
.
解析试题分析:(1)求椭圆的方程,已知椭圆
经过点
,一个焦点为
,故可用待定系数法,利用焦点为
可得
,利用过点
,可得
,再由
,即可解出
,从而得椭圆
的方程;(2)求
的取值范围,由弦长公式可求得线段
的长,因此可设
,由
得,
,则
是方程的两根,有根与系数关系,得
,
,由弦长公式求得线段
的长,求
的长,需求出
的坐标,直线
与
轴交于点
,可得
,线段
的垂直平分线与
轴交于点
,故先求出线段
的中点坐标,写出线段
的垂直平分线方程,令
,既得
点的坐标,从而得
的长,这样就得
的取值范围.
试题解析:(1)由题意得解得
,
.
所以椭圆的方程是
. 4分
(2)由得
.
设,则有
,
,
.所以线段
的中点坐标为
,
所以线段的垂直平分线方程为
.
于是,线段的垂直平分线与
轴的交点
,又点
,
所以.
又.
于是,.
因为,所以
.所以
的取值范围为
. 14分
考点:求椭圆的方程,直线与椭圆位置关系,二次曲线范围问题.
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