题目内容
已知椭圆
的两焦点在
轴上, 且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形
（1）求椭圆的方程；
（2）过点
的动直线
交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q?若存在求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由
（1）椭圆方程为
；（2）存在定点
，使以AB为直径的圆恒过点
解析试题分析：（1）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
等腰直角三角形斜边长为2，即
，故
，由此可得椭圆方程 （2）首先考虑与坐标轴平行的特殊情况，当与x轴平行时，以AB为直径的圆的方程为
；当与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为
，解方程组求出这两个圆的交点：
若存在定点Q,则Q的坐标只可能为
接下来就一般情况证明为所求 设直线
，则
，将
与椭圆方程联立，利用韦达定理得：
，代入上式证明其等于0即可
试题解析：（1）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
又斜边长为2,即故,
椭圆方程为 （4分）
（2）当与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为;
当与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为,故若存在定点Q,则Q的坐标只可能为 （6分）
下证明为所求:
若直线斜率不存在,上述已经证明 设直线,
,, （8分）
（10分）
,即以AB为直径的圆恒过点 （13分）
注: 此题直接设
,得到关于
的恒成立问题也可求解
考点：直线与圆锥曲线
练习册系列答案
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：
的离心率为
，右焦点为(
，0)．
作两条互相垂直的射线，与椭圆交于
，
两点，求证：点
的距离为定值.
＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.
＝1(a＞b＞0)的离心率为
，短轴的一个端点为M(0，1)，直线l：y＝kx－
与椭圆相交于不同的两点A、B.
，求k的值；
的焦距为2，且过点
.
，
，过点
与椭圆C交于
两点.
时，求
的长；
的内切圆的面积的最大值，并求出当
＝1(a>b>0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：x2＋y2＝
(c是椭圆的半焦距)相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N.
、
，求椭圆C的方程；
·
的值(O是坐标原点)；
＝1(a＞b＞0)，点P
在椭圆上．
+
=1(a>b>0),抛物线C2:x2+by=b2.
,
b）,又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B（0,
b）,且△QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程.