题目内容
已知椭圆的两焦点在
轴上, 且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的动直线
交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点Q,使得以AB为直径的圆恒过点Q?若存在求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由
(1)椭圆方程为;(2)存在定点
,使以AB为直径的圆恒过点
解析试题分析:(1)由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,等腰直角三角形斜边长为2,即
,故
,由此可得椭圆方程 (2)首先考虑
与坐标轴平行的特殊情况,当
与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为
;当
与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为
,解方程组求出这两个圆的交点:
若存在定点Q,则Q的坐标只可能为
接下来就一般情况证明为所求 设直线
,则
,将
与椭圆方程联立,利用韦达定理得:
,代入上式证明其等于0即可
试题解析:(1)由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,
又斜边长为2,即故
,
椭圆方程为 (4分)
(2)当与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程为
;
当与y轴平行时,以AB为直径的圆的方程为
,故若存在定点Q,则Q的坐标只可能为
(6分)
下证明为所求:
若直线斜率不存在,上述已经证明 设直线
,
,
, (8分)
(10分)
,即以AB为直径的圆恒过点
(13分)
注: 此题直接设,得到关于
的恒成立问题也可求解
考点:直线与圆锥曲线
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