Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n,a₁=1,a_n+1=2S_n+1(n≥1,n∈N^*),则数列{a_n}的通项公式是_______.

Answer 1

a_n=3^n-1

【思路点拨】根据a_n和S_n的关系转换a_n+1=2S_n+1(n≥1)为a_n+1与a_n的关系或者S_n+1与S_n的关系.
解:方法一:由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1(n≥2),两式相减得a_n+1-a_n=2a_n,a_n+1=3a_n(n≥2).
又a₂=2S₁+1=3,
∴a₂=3a₁,故{a_n}是首项为1,公比为3的等比数列,
∴a_n=3^n-1.
方法二:由于a_n+1=S_n+1-S_n,
a_n+1=2S_n+1,
所以S_n+1-S_n=2S_n+1,S_n+1=3S_n+1,
把这个关系化为S_n+1+=3(S_n+),
即得数列{S_n+}为首项是S₁+=,
公比是3的等比数列,故S_n+=×3^n-1=×3ⁿ,
故S_n=×3ⁿ-.
所以,当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1=3^n-1,
由n=1时a₁=1也适合这个公式,知所求的数列{a_n}的通项公式是a_n=3^n-1.
【方法技巧】a_n和S_n关系的应用技巧
在根据数列的通项a_n与前n项和的关系求解数列的通项公式时,要考虑两个方面,一个是根据S_n+1-S_n=a_n+1把数列中的和转化为数列的通项之间的关系;一个是根据a_n+1=S_n+1-S_n把数列中的通项转化为前n项和的关系,先求S_n再求a_n.