Question

【题目】在三棱柱中，，，，且.

（1）求证：平面平面；

（2）设二面角的大小为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）要证明平面平面，只需证明平面即可；

（2）取的中点D，连接BD，以B为原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别计算平面的法向量为与平面的法向量为，利用夹角公式计算即可.

（1）在中，，

所以，即.

因为，，，

所以.

所以，即.

又，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）由题意知，四边形为菱形，且，

则为正三角形，

取的中点D，连接BD，则.

以B为原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，

建立空间直角坐标系，则

，，，，.

设平面的法向量为，

且，.

由得取.

由四边形为菱形，得；

又平面，所以；

又，所以平面，

所以平面的法向量为.

所以.

故.