Question

【题目】已知函数的定义域为，当时， ，且对任意正实数，满足.

（1）求；

（2）证明在定义域上是减函数；

（3）如果，求满足不等式的的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.

【解析】试题分析：（1）由令，可得；（2）任取，且，则可得， ，从而可得结果；（3）先根据特值法求得，原不等式可化为， ，利用定义域及单调性列不等式组求解即可.

试题解析：（1）令，得.

（2）任取，且，则，

由题意， ，

即，所以在定义域上是减函数.

（3）由，得，得.

由得： ，

，

由在定义域上是减函数得.

又，

因此的取值范围为.

【方法点晴】本题主要考查抽象函数的定义域、解析式、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.