Question

12．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=BC，侧面A₁B₁BA和B₁C₁CB都是边长为2的正方形，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面DBC₁；
（2）求证：A₁C₁⊥平面BDC₁；
（3）求三棱锥C-BDC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）根据线面垂直的判定定理证明即可；（3）根据三棱锥的体积公式计算即可．

解答 （1）证明：如图示：

连接B₁、C交BC₁与点O，连接OD，在△CAB₁中，
O、D分别是B₁C和AC的中点，OD∥AB₁，
而AB₁不在平面BDC₁，OD?平面BDC，
∴AB₁∥平面BDC₁；
（2）证明：三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁B₁BA和B₁C₁CB都是正方形，
BB₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥平面ABC，BD?平面ABC，
则AA₁⊥BD，
∵AB=BC=2，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，BD⊥平面AA₁C₁C，
∴BD⊥A₁C，A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁B，B₁C₁∩B₁B=B₁，
A₁B₁⊥平面B₁C₁CB，A₁B₁⊥BC₁，
在正方形B₁C₁CB中，B₁C⊥BC₁，A₁B₁∩B₁C=B₁，
BC₁⊥平面A₁B₁C，
A₁C?平面A₁B₁C，A₁C⊥BC₁，
又BD∩BC₁=B，
故A₁⊥平面BDC₁，
（3）解：${V}_{C-B{DC}_{1}}$=${V}_{D-B{CC}_{1}}$=$\frac{1}{3}$${S}_{△B{CC}_{1}}$h，
∵D是AC的中点，易知AB⊥平面BCC₁B₁，
故h=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴${V}_{C-B{DC}_{1}}$=${V}_{D-B{CC}_{1}}$=$\frac{1}{3}$${S}_{△B{CC}_{1}}$h=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×2×2×1=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了线面平行、线面垂直的判定定理，考查空间几何体的体积公式，是一道中档题．