题目内容
【题目】如图所示,四面体中,
是正三角形,
是直角三角形,
是
的中点,且
.
(1)求证:平面
;
(2)过的平面交
于点
,若平面
把四面体
分成体积相等的两部分,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)首先利用三角形全等得到,推导出
,利用勾股定理得到
,由此能证明
平面
;(2)以
为坐标原点,
为
轴正方向,
为
轴正方向,
为
轴正方向,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角
的余弦值.
(1)如图所示,
因为为等边三角形,所以
,
由,得
,所以
,
即为等腰直角三角形,从而
为直角,
又为底边
中点,所以
.
令,则
,易得
,
所以,从而
,
又为平面
内两相交直线,
所以平面
.
(2)由题意可知,即
到平面
的距离相等,
所以点为
的中点,
以为坐标原点,
为
轴正方向,
为
轴正方向,
为
轴正方向,建立空间直角坐标系.
设,则
,
易得.
设平面的法向量为
,平面
的法向量为
,则
,取
;
,取
,
设二面角的大小为
,易知
为锐角,
则,
所以二面角的余弦值为
.
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