题目内容
【题目】某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为,且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为,求;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
【答案】】(1).
(2) (i)490.
(ii)应该对余下的产品作检验.
【解析】分析:(1)利用独立重复实验成功次数对应的概率,求得,之后对其求导,利用导数在相应区间上的符号,确定其单调性,从而得到其最大值点,这里要注意的条件;
(2)先根据第一问的条件,确定出,在解(i)的时候,先求件数对应的期望,之后应用变量之间的关系,求得赔偿费用的期望;在解(ii)的时候,就通过比较两个期望的大小,得到结果.
详解:(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此
.
令,得.当时,;当时,.
所以的最大值点为.
(2)由(1)知,.
(i)令表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知,,即.
所以.
(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.
由于,故应该对余下的产品作检验.
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