题目内容
已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为平面ABC内任一点，动点P满足等式
=
[（1-λ）
+（1-λ）
+（1+2λ）
]（λ∈R且λ≠0），则点P的轨迹一定通过△ABC的 ．
【答案】分析：根据向量的加法的平行四边形法则向量的运算法则，取AB的中点D，对 
进行化简，得到 
，根据三点共线的充要条件知道P、C、D三点共线，从而得到点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
解答：解：取AB的中点D，则
∵
∴
=
，
而
，
∴P、C、D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
故答案为：重心．
点评：本小题主要考查向量在几何中的应用、三点共线的充要条件的应用、三角形五心等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思与转化思想．属于基础题．
进行化简，得到 ，根据三点共线的充要条件知道P、C、D三点共线，从而得到点P的轨迹一定经过△ABC的重心．解答：解：取AB的中点D，则
∵
∴
=
，而
，∴P、C、D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
故答案为：重心．
点评：本小题主要考查向量在几何中的应用、三点共线的充要条件的应用、三角形五心等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思与转化思想．属于基础题．
练习册系列答案
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已知A、B、C是平面内不共线的三点，P为平面内的动点，且
=
+λ(
+
) (λ＞0)，则P的轨迹过△ABC的（ ）
| OP |
| ||||
| 2 |
| ||
|
|
| ||
|
|
| A、重心 | B、垂心 | C、内心 | D、外心 |
已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
=
(
+
+2
)，则点P一定为三角形ABC的（ ）
| OP |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| 1 |
| 2 |
| OB |
| OC |
| A、AB边中线的中点 |
| B、AB边中线的三等分点（非重心） |
| C、重心 |
| D、AB边的中点 |