题目内容
已知A，B，C是平面上不共线上三点，O为△ABC外心，动点P满足：
=
[(1-λ)
+(1-λ)
+(1+2λ)
]（λ∈R且λ≠0），则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OC |
分析：根据向量的加法的平行四边形法则向量的运算法则，对
=
[(1-λ)
+(1-λ)
+(1+2λ)
]进行化简，得到
+
，根据三点共线的充要条件知道P、C、D三点共线，但λ≠0则点P的轨迹一定不经过△ABC的重心．
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OC |
| 2(1-λ) |
| 3 |
| OD |
| 1+2λ |
| 3 |
| OC |
解答：解：取AB的中点D，则 2
=
+
∵
=
[(1-λ)
+(1-λ)
+(1+2λ)
]
∴
=
[(1-λ)(2
)+(1+2λ)
]
=
+
，
而
+
=1，
∴P、C、D三点共线，
∵λ≠0
∴点P的轨迹一定不经过△ABC的重心．
故选D．
| OD |
| OA |
| OB |
∵
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OC |
∴
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OD |
| OC |
=
| 2(1-λ) |
| 3 |
| OD |
| 1+2λ |
| 3 |
| OC |
而
| 2(1-λ) |
| 3 |
| 1+2λ |
| 3 |
∴P、C、D三点共线，
∵λ≠0
∴点P的轨迹一定不经过△ABC的重心．
故选D．
点评：此题是个中档题．考查向量的加法法则和运算法则，以及三点共线的充要条件，和三角形的五心问题，综合性强，体现了数形结合的思想．
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已知A、B、C是平面内不共线的三点，P为平面内的动点，且
=
+λ(
+
) (λ＞0)，则P的轨迹过△ABC的（ ）
| OP |
| ||||
| 2 |
| ||
|
|
| ||
|
|
| A、重心 | B、垂心 | C、内心 | D、外心 |
已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
=
(
+
+2
)，则点P一定为三角形ABC的（ ）
| OP |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| 1 |
| 2 |
| OB |
| OC |
| A、AB边中线的中点 |
| B、AB边中线的三等分点（非重心） |
| C、重心 |
| D、AB边的中点 |