题目内容
已知A，B，C是平面上不共线的三点，o为平面ABC内任一点，动点P满足等式
=
[(1-λ)
+(1-λ)
+(1+2λ)
](λ∈R且λ≠1，则P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OC |
分析：根据向量的加法的平行四边形法则向量的运算法则，取AB的中点D，对
=
[(1-λ)
+(1-λ)
+(1+2λ)
](λ∈R，进行化简，得到
=
+
，根据三点共线的充要条件知道P、C、D三点共线，从而得到点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OC |
| OP |
| 2(1-λ) |
| 3 |
| OD |
| 1+2λ |
| 3 |
| OC |
解答：解：取AB的中点D，则 2
=
+
，
∵
=
[(1-λ)
+(1-λ)
+(1+2λ)
](λ∈R，
∴
=
[（1-λ）（2
）+（1+2λ）
]
=
+
，
而
+
=1，
∴P、C、D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
故选C．
| OD |
| OA |
| OB |
∵
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OA |
| OB |
| OC |
∴
| OP |
| 1 |
| 3 |
| OD |
| OC |
=
| 2(1-λ) |
| 3 |
| OD |
| 1+2λ |
| 3 |
| OC |
而
| 2(1-λ) |
| 3 |
| 1+2λ |
| 3 |
∴P、C、D三点共线，
∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．
故选C．
点评：本小题主要考查向量在几何中的应用、三点共线的充要条件的应用、三角形五心等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思与转化思想．属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知A、B、C是平面内不共线的三点，P为平面内的动点，且
=
+λ(
+
) (λ＞0)，则P的轨迹过△ABC的（ ）
| OP |
| ||||
| 2 |
| ||
|
|
| ||
|
|
| A、重心 | B、垂心 | C、内心 | D、外心 |
已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
=
(
+
+2
)，则点P一定为三角形ABC的（ ）
| OP |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| 1 |
| 2 |
| OB |
| OC |
| A、AB边中线的中点 |
| B、AB边中线的三等分点（非重心） |
| C、重心 |
| D、AB边的中点 |