题目内容
已知A，B，C是平面内互异的三点，O为平面上任意一点，| OC |
| OA |
| OB |
（1）若A，B，C三点共线，则x+y=1；
（2）若x+y=1，则A，B，C三点共线．
分析：（1）将三点共线转化为以这三点确定的两个向量共线；利用向量共线的充要条件得到等式；利用向量的运算法则将用O为起点的向量表示；利用平面向量的基本定理得证．
（2）通过代入消元将已知等式中的y消去，利用向量的运算法则化简等式；利用向量共线的充要条件得证．
（2）通过代入消元将已知等式中的y消去，利用向量的运算法则化简等式；利用向量共线的充要条件得证．
解答：证明：（1）∵A，B，C三点共线
∴
∥
∴存在λ有
=λ
B
即
-
=λ(
-
)
∴
=(1-λ)
+λ
∵
=x
+y
∴
∴x+y=1
（2）∵
=x
+y
，x+y=1
∴
=x
+(1-x)
，
-
=x(
-
)
即
=x
∴
∥
故A，B，C 共线．
∴
| AB |
| AC |
∴存在λ有
| AC |
| A |
即
| OC |
| OA |
| OB |
| OA |
∴
| OC |
| OA |
| OB |
∵
| OC |
| OA |
| OB |
∴
|
∴x+y=1
（2）∵
| OC |
| OA |
| OB |
∴
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
| OB |
| OA |
| OB |
即
| BC |
| BA |
∴
| BA |
| BC |
故A，B，C 共线．
点评：本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件、利用向量共线解决三点共线．
练习册系列答案
相关题目
已知A、B、C是平面内不共线的三点，P为平面内的动点，且
=
+λ(
+
) (λ＞0)，则P的轨迹过△ABC的（ ）
| OP |
| ||||
| 2 |
| ||
|
|
| ||
|
|
| A、重心 | B、垂心 | C、内心 | D、外心 |
已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
=
(
+
+2
)，则点P一定为三角形ABC的（ ）
| OP |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| 1 |
| 2 |
| OB |
| OC |
| A、AB边中线的中点 |
| B、AB边中线的三等分点（非重心） |
| C、重心 |
| D、AB边的中点 |