Question

【题目】已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，其离心率为 ，短轴端点与焦点构成四边形的面积为 .

（1）求椭圆 的方程；

（2）若过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ， 为坐标原点，当 时，试求直线 的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2） 或 .

【解析】试题分析：（1）依题意， ，根据及，可求 ， 的值，即可得到椭圆 的方程；

（2）当直线 的斜率不存在时， ， ， ；

当直线 的斜率存在时，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，

联立方程组 消 得：

根据韦达定理可得 ， ，再由即可求得值，进而得到直线方程.

试题解析：（1）依题意，

又 ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，

故椭圆的标准方程为

（2）当直线 的斜率不存在时， ， ， ；

当直线 的斜率存在时，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，

联立方程组 消 得：

设 ， ，则 ，

∴ ，即 ，∴

∴直线方程为 ，即 或 .