Question

12．如图（1），△ABD为等边三角形，△BCD是以C为直角顶点的等腰直角三角形且CD=2，E为线段CD中点，将△ABD沿BD折起（如图2），使得线段AC的长度等于2，对于图二，完成以下各小题：
（1）证明：AC⊥平面BCD；
（2）求直线AE与平面ABD所成角的正弦值；
（3）线段AB上是否存在点P，使得平面CPE与平面ABD垂直？若存在，请求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明：AC⊥平面BCD；
（2）建立空间坐标系，利用向量法即可求直线AE与平面ABD所成角的正弦值；
（3）根据面面垂直的判定定理，结合向量法进行证明即可．

解答 解：（1）∵$CD=CB=2，AB=BD=AD=2\sqrt{2}$
又∵AC=2，∴AC²+CB²=8=AB²
∴AC⊥CB
同理可证AC⊥CD，
故AC垂直面BCD内两条相交直线
则AC⊥平面BCD  …（3分）
（2）由（1）知AC⊥CB，AC⊥CD，又有CD⊥CB
故可建如图所示建立空间直角坐标系C-xyz．…（4分）
∴C（0，0，0），A（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，1，0）
∴$\overrightarrow{AB}=（2，0，-2）$，$\overrightarrow{AD}=（0，2，-2）$，$\overrightarrow{AE}=（0，1，-2）$，$\overrightarrow{CE}=（0，1，0）$
设平面ABD的一个法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\vec m•\overrightarrow{AB}=0\\ \vec m•\overrightarrow{AD}=0\end{array}\right.$$⇒\left\{\begin{array}{l}2x-2z=0\\ 2y-2z=0\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow m=（1，1，1）$．…（6分）
设直线AE与平面ABD所成角为θ，
则$sinθ=|cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow{AE}＞|=\frac{{|\overrightarrow m•\overrightarrow{AE}|}}{{|\overrightarrow{{m_{\;}}}||\overrightarrow{AE}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}×\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{15}$，…（7分）
∴设直线AE与平面ABD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{15}$．…（8分）
（3）假设存在符合条件的点P，并设$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BA}=λ（-2，0，2）=（-2λ，0，2λ）$（λ∈[0，1]）
则$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BP}=（2，0，0）+（-2λ，0，2λ）=（2-2λ，0，2λ）$
设平面CPE的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y=0}\\{（2-2λ）x+2λz=0}\end{array}\right.$，
取x=λ，得$\overrightarrow n=（λ，0，λ-1）$．…（11分）
要使得平面CPE与平面ABD垂直，
只需$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$即1×λ+0×1+1×（λ-1）=0
解得$λ=\frac{1}{2}$∈[0，1]，
故线段AB上存在点P，使得平面CPE与平面ABD垂直，此时线段BP的长度为$\sqrt{2}$…（14分）

点评 本题主要考查空间面面垂直和线面垂直的判断，以及直线和平面所成角的求解，利用向量法是解决空间角的基本方法．