Question

6．已知$x∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}），sinx+cosx=\frac{1}{5}$，则tan2x为（　　）

• A． $\frac{7}{24}$
• B． $-\frac{7}{24}$
• C． $\frac{24}{7}$
• D． $-\frac{24}{7}$

Answer 1

分析 有条件利用同角三角函数的基本关系求得tanx的值，再利用二倍角公式的正切公式求得 tan2x的值．

解答 解：∵已知$x∈（{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}），sinx+cosx=\frac{1}{5}$，∴1+2sinxcosx=$\frac{1}{25}$，
∴2sinxcosx=$\frac{2sinxcosx}{{sin}^{2}x{+cos}^{2}x}$=$\frac{2tanx}{{tan}^{2}x+1}$=-$\frac{24}{25}$ ①，
求得tanx=-$\frac{4}{3}$，或tanx=-$\frac{3}{4}$．
根据x的范围以及①，可得sinx＜0，cosx＞0，且|cosx|＞|sinx|，∴tanx＞-1，
∴tanx=-$\frac{3}{4}$，∴tan2x=$\frac{2tanx}{1{-tan}^{2}x}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{1-\frac{9}{16}}$=-$\frac{24}{7}$，
故选：D．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的正切公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．