题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)当时,方程
在区间
内有唯一实数解,求实数
的取值范围;
(2)对于区间上的任意不相等的实数
、
,都有
成立,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
或
【解析】
(1)由得
,即
与
的图象在
上有唯一交点. 设
,利用导数讨论出函数的单调性,得出答案.
(2) 不妨设,当
时,
,则
在
上单调递增,则转化为
,即
在
上单调递减,所以
恒成立,当
时,即
在
上单调递增,从而可求答案.
(1)解:由,得
,
设,
,
则问题等价于与
的图象在
上有唯一交点,
∵,
∴时,
,函数单调递增,
时,
,函数单调递减,
∵,
且
时,
,
∴.
(2)解:,
在
上单调递增.
不妨设,
当时,
,则
在
上单调递增,
,
,
∴可化为
,
∴,
设,即
,
∵在
上单调递减,∴
恒成立,
即在
上恒成立,
∵,∴
,
当时,
,
,
∴可化为
,
∴,
设,即
,
∵在
上单调递增,∴
恒成立,
即在
上恒成立.
∴,∴
,
综上所述:或
.
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