Question

7．已知命题p：方程x²-（2+a）x+2a=0在[-1，1]上有且仅有一解；命题q：存在实数x使不等式x²+2ax+2a≤0成立，若命题“￢p且q”是真命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先通过因式分解求出方程x²-（2+a）x+2a=0的根，再根据判别式确定不等式x²+2ax+2a≤0有解，最后根据复合命题真假求出a的取值范围．

解答 解：①若命题p为真，由x²-（2+a）x+2a=0得（x-2）（x-a）=0，解得x=2或x=a，
又∵方程x²-（2+a）x+2a=0，在[-1，1]上有且仅有一解，∴-≤a≤1．
②若命题q为真，即存在实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0
∴△=4a²-8a≥0解得a≤0或a≥2，
因为命题“￢p且q”是真命题，所以，命题p是假命题、命题q是真命题，
当命题p为假时，a＜-1或a＞1，
当命题q为真时，a≤0或a≥2，
因此，实数a的取值范围为（-∞，-1）∪[2，+∞）．

点评 本题主要考查了复合命题真假的判断，一元二次方程和一元二次不等式的解法，以及集合交集的运算，属于中档题．