题目内容
【题目】已知函数
(1)当时,求曲线在处的切线方程;
(2)当时,判断 在上的单调性,并说明理由;
(3)当时,求证: ,都有
【答案】(1);(2)见解析;(3)见解析
【解析】试题分析:(1)由得切线斜率,由点斜式写切线方程即可;
(2)由,易知在上,从而得知函数为增函数;
(3)由(2)可知,当时, 在区间单调递增,易知不等式成立;当时,设, ,分析单调性可知存在唯一的实数,使得,又 , ,所以当时,对于任意的, .
试题解析:
(1)当时, , .
得 又,
所以曲线在处的切线方程为
(2)方法1:因为,所以.
因为,所以,所以.
所以 当时, ,所以在区间单调递增.
方法2:因为,所以.
令, 则 ,
随x的变化情况如下表:
x | |||||
+ | |||||
极大值 |
当时, .
所以时, ,即,
所以在区间单调递增.
(3)方法1:由(2)可知,当时, 在区间单调递增,
所以时, .
当时,设,
则 ,
随x的变化情况如下表:
x | |||||
+ | |||||
极大值 |
所以在上单调递增,在上单调递减
因为, ,
所以存在唯一的实数,使得,
且当时, ,当时, ,
所以在上单调递增, 在上单调递减.
又 , ,
所以当时,对于任意的, .
综上所述,当时,对任意的,均有.
方法2:由(Ⅱ)可知,当时, 在区间单调递增,
所以时, .
当时, 由(Ⅱ)可知, 在上单调递增,在上单调递减,
因为, ,
所以存在唯一的实数,使得,
且当时, ,当时, ,
所以在上单调递增, 在上单调递减.
又 , ,
所以当时,对于任意的,.
综上所述,当时,对任意的,均有.
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