Question

【题目】已知，且不等式对任意的恒成立.

(Ⅰ) 求与的关系；

(Ⅱ) 若数列满足：，，为数列的前项和.求证：；

(Ⅲ) 若在数列中，，为数列的前项和.求证：.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)； (Ⅱ)证明略； (Ⅲ)证明略.

【解析】

(Ⅰ) 由题意，令，可得，由不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立，得到是函数的极大值点，利用导数，即可求解。

(Ⅱ) 由（Ⅰ）令，得到 ，即

又由，即可作出证明；

(Ⅲ)令，求得恒成立，当且仅当取等号，令，得到成立，进而得到，利用累加法，即可求解。

(Ⅰ) 由题意，令，可得，

由不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立，

所以函数在处取得最大值，也是极大值，

因为，所以，所以，

又因为，所以函数在处取得极大值，符合题意，

所以正数的关系为。

(Ⅱ) 由（Ⅰ）令，不等式对任意的恒成立，

所以 ，即

又由，

所以数列的前项和，

又由，所以，即成立。

(Ⅲ) 由数列中，，为数列的前项和，所以，

令，则，

当时，，则在单调递减，

当时，，则在单调递增，

所以当，函数取得最小值，最小值为，即恒成立，

即成立，即恒成立，当且仅当取等号，

令，所以，即成立，

所以

所以

，

即