题目内容
【题目】如图,四棱台中,
底面
,平面
平面
为
的中点.
(1)证明: ;
(2)若,且
,求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)先根据平几知识求,再根据面面垂直性质定理得
平面
即得
;(2)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用解方程组得各面法向量,根据向量数量积求法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系确定二面角
的正弦值.
试题解析:(1)证明:连接,
∵为四棱台,四边形
四边形
,
∴,由
得,
,
又∵底面
,∴四边形
为直角梯形,可求得
,
又为
的中点,所以
,
又∵平面平面
,平面
平面
,
∴平面
平面
,
∴;
(2)解:
在中,
,利用余弦定理可求得,
或
,由于
,所以
,从而
,知
,
如图,以为原点建立空间直角坐标系,
,
由于平面
,所以平面
的法向量为
,
设平面的法向量为
,
,
,
设
,所以
,
,
∴,
即二面角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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