Question

6．定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数f（x）=ax²+2x-4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（-x）=-f（x）的x的值；若不是，请说明理由；
（2）若f（x）=2^x+m是定义在区间[-1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
（3）若f（x）=4^x-m•2^x+1+m²-3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用局部奇函数的定义，建立方程f（-x）=-f（x），然后判断方程是否有解即可；
（2）利用局部奇函数的定义，求出使方程f（-x）=-f（x）有解的实数m的取值范围，可得答案；
（3）利用局部奇函数的定义，求出使方程f（-x）=-f（x）有解的实数m的取值范围，可得答案；

解答 解：f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（-x）=-f（x）有解．
（1）当f（x）=ax²+2x-4a（a∈R），时，
方程f（-x）=-f（x）即2a（x²-4）=0，有解x=±2，
所以f（x）为“局部奇函数”．                                     …（3分）
（2）当f（x）=2^x+m时，f（-x）=-f（x）可化为2^x+2^-x+2m=0，
因为f（x）的定义域为[-1，1]，所以方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解．…（5分）
令t=2^x∈[$\frac{1}{2}$，2]，则-2m=t+$\frac{1}{t}$．
设g（t）=t+$\frac{1}{t}$，则g'（t）=$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$，
当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，
当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数．       …（7分）
所以t∈[$\frac{1}{2}$，2]时，g（t）∈[2，$\frac{5}{2}$]．
所以-2m∈[2，$\frac{5}{2}$]，即m∈[-$\frac{5}{4}$，-1]．                          …（9分）
（3）当f（x）=4^x-m2^x+1+m²-3时，f（-x）=-f（x）可化为4^x+4^-x-2m（2^x+2^-x）+2m²-6=0．
t=2^x+2^-x≥2，则4^x+4^-x=t²-2，
从而t²-2mt+2m²-8=0在[2，+∞）有解即可保证f（x）为“局部奇函数”．…（11分）
令F（t）=t²-2mt+2m²-8，
1° 当F（2）≤0，t²-2mt+2m²-8=0在[2，+∞）有解，
由当F（2）≤0，即2m²-4m-4≤0，解得1-$\sqrt{3}$≤m≤1+$\sqrt{3}$；  …（13分）
2° 当F（2）＞0时，t²-2mt+2m²-8=0在[2，+∞）有解等价于$\left\{\begin{array}{l}△=4{m}^{2}-4（2{m}^{2}-8）≥0\\ m＞2\\ F（2）＞0\end{array}\right.$，
解得1+$\sqrt{3}$≤m≤2$\sqrt{2}$．          …（15分）
（说明：也可转化为大根大于等于2求解）
综上，所求实数m的取值范围为1-$\sqrt{3}$≤m≤2$\sqrt{2}$．            …（16分）

点评 本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．