Question

1．已知函数$f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}）$的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$上的值域；
（Ⅲ）求函数g（x）=f（x-$\frac{π}{12}$）-f（x+$\frac{π}{12}$）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据图象确定函数的周期，求解A，ω和φ的值即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据三角函数的单调性即可求函数f（x）在区间$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$上的值域；
（Ⅲ）先化简g（x），然后利用三角函数的单调性即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）由题设图象知，周期T=2（$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$）=π，
则ω=$\frac{2π}{T}$=2．
因为点（$\frac{5π}{12}$，0）在函数图象上，所以Asin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=0，
即sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=0，
又∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{5π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$+φ＜$\frac{4π}{3}$，
即$\frac{5π}{6}$+φ=π，解得φ=$\frac{π}{6}$．
即f（x）=Asin（2x+$\frac{π}{6}$），
又点（0，1）在函数图象上，
∴Asin$\frac{π}{6}$=1，解得A=2，
故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）∵$-\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{3}⇒-\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}⇒-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$．
∴f（x）的值域为$[-\sqrt{3}，2]$．
（Ⅲ）g（x）=f（x-$\frac{π}{12}$）-f（x+$\frac{π}{12}$）=2sin[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]-2sin[2（x+$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin2x-2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
=2sin2x-2×（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z，
∴g（x）的单调递增区间是[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数的化简，三角函数的单调性和值域的求解，综合考查三角函数的性质．