Question

【题目】如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为 ．
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）取AD中点M，设PO⊥面ABCD，连MO、PM，则∠PMO为二面角的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，tan
设AB=A,A0=a，PO=AOtan∠PAO=，
∴∠PMO=60°．
（2）连OE，OE∥PD，∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．
．
∵a
∴
（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连EG、MG．

取AM中点F，∵EG∥MF∴
∴EF∥MG．
∴EF⊥平面PBC．
即F为四等分点.
【解析】（1）取AD中点M，设PO⊥面ABCD，连MO、PM，则∠PMO为二面角的平面角，设AB=a，则可利用tan∠PAO表示出AO和PO，进而根据求得tan∠PMO的值，则∠PMO可知．
（2）连OE，OE∥PD，∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．根据AO⊥BO，AO⊥PO判断出AO⊥平面PBD，进而可推断AO⊥OE，进而可知进而可知∠AEO为直线PD与AE所成角，根据勾股定理求得PD，进而求得OE，则tan∠AEO可求得．
（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连EG、MG．先证出平面PMN和平面PBC垂直，再通过已知条件证出MG⊥平面PBC，取AM中点F，利用EG∥MF，推断出 ， 可知EF∥MG．最后可推断出EF⊥平面PBC．即F为四等分点．
【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．