题目内容
【题目】已知、
分别是椭圆
的左顶点、右焦点,点
为椭圆
上一动点,当
轴时,
.
(1)求椭圆的离心率;
(2)若椭圆存在点
,使得四边形
是平行四边形(点
在第一象限),求直线
与
的斜率之积;
(3)记圆为椭圆
的“关联圆”. 若
,过点
作椭圆
的“关联圆”的两条切线,切点为
、
,直线
的横、纵截距分别为
、
,求证:
为定值.
【答案】(1);(2)
;(3)见解析.
【解析】试题分析:
(1)利用题意得到关于的齐次方程,求解方程组可得椭圆的离心率
;
(2) 由题意, ,
,则
,结合(1)的结论可得
.
(3) 由(1)知椭圆方程为
,圆
的方程为
.
四边形的外接圆方程为
,
所以,因为点
在椭圆
上,则
.
试题解析:
解:(1)由轴,知
,代入椭圆
的方程,
得,解得
.
又,所以
,解得
.
(2)因为四边形是平行四边,所以
且
轴,
所以,代入椭圆
的方程,解得
, 因为点
在第一象限,所以
,同理可得
,
, 所以
,
由(1)知,得
,所以
.
(3)由(1)知,又
,解得
,所以椭圆
方程为
,
圆的方程为
①. 连接
,由题意可知,
,
,
所以四边形的外接圆是以
为直径的圆,
设,则四边形
的外接圆方程为
,
②. ①-②,得直线
的方程为
,
令,则
;令
,则
. 所以
,
因为点在椭圆
上,所以
,所以
.
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