题目内容
【题目】在图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，
，平面
平面ABCD，
，
，
是边长为2的正三角形．
证明：
平面ACF；
若点P在线段EF上，且二面角
的余弦值为
，求
的值．
【答案】（1）详见解析；（2）
．
【解析】
建立空间直角坐标系，利用向量法能证明
平面ACF．
求出平面BCF的一个法向量和平面PBC的一个法向量，利用向量法能求出结果．
解：连结BE、AC、AF，取AD的中点O，连结OE，
依题意知
，平面
平面ABCD，
又
平面ADE，平面
平面
，
平面ABCD，
以O为原点，OA为x轴，OE为z轴，过O作AB的平行线为y轴，建立空间直角坐标系，
则
0，
，
1，，
2，，
0，
，
4，，
，
2，，
4，，
，
，
，
，
又
，
平面ACF．
由知
1，，
3，，
设平面BCF的一个法向量
y，
，
则
，取
，得
2，
，
设
，
，
，
4，，
则
，
，
1，，
，
设平面PBC的一个法向量
y，，
则
，取，得
2，
，
二面角
的余弦值为
，
，
解得
或
舍
，
．
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