题目内容

【题目】已知直线 ,若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于,则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程:

;②;③;④.

其中直线的“绝对曲线”的条数为( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】y=ax+1﹣a=a(x﹣1)+1,可知直线l过点A(1,1).

对于①,y=﹣2|x﹣1|图象是顶点为(1,0)的倒V型,而直线l过顶点A(1,1).所以直线l不会与曲线y=﹣2|x﹣1|有两个交点,不是直线l绝对曲线”;

对于②,(x﹣1)2+(y﹣1)2=1是以A为圆心,半径为1的圆,

所以直线l与圆总有两个交点,且距离为直径2,所以存在a=±2,使得圆(x﹣1)2+(y﹣1)2=1与直线l有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于|a|

所以圆(x﹣1)2+(y﹣1)2=1是直线l绝对曲线”;

对于③,将y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4,

得(3a2+1)x2+6a(1﹣a)x+3(1﹣a)2﹣4=0.

x1+x2=, x1x2=

若直线l被椭圆截得的线段长度是|a|

化简得

f(a)=

f(1),f(3)

所以函数f(a)在(1,3)上存在零点,即方程有根.

而直线过椭圆上的定点(1,1),当a(1,3)时满足直线与椭圆相交.

故曲线x2+3y2=4是直线的绝对曲线”.

对于④将y=ax+1﹣a代入.

把直线y=ax+1-a代入y2=4xa2x2+(2a-2a2-4)x+(1-a)2=0,
x1+x2=,x1x2=
若直线l被椭圆截得的弦长是|a|,

a2=(1+a2)[(x1+x22-4x1x2]=(1+a2

化为a6-16a2+16a-16=0,
f(a)=a6-16a2+16a-16,而f(1)=-15<0,f(2)=16>0.
∴函数f(a)在区间(1,2)内有零点,即方程f(a)=0有实数根,当a(1,2)时,直线满足条件,即此函数的图象是绝对曲线”.
综上可知:能满足题意的曲线有②③④
故选:C.

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