Question

【题目】已知抛物线，过抛物线焦点的直线分别交抛物线和圆于点(自上而下)．

（1）求证：为定值；

（2）若、、成等差数列，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）．

【解析】

（1）讨论当直线过焦点且垂直于轴时，四点坐标可直接求出，可求得，当直线过焦点且不垂直于轴时，设直线方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的定义，即可得到定值；

（1）由、、成等差数列，可得，从而可得，而，，列方程可求出斜率，从而可求出直线方程.

（1）由题知，焦点，圆半径；

①当斜率不存在时，，交点，此时；

②当斜率存在时，设，

联立，消去得

由韦达定理得，显然恒成立

由抛物线定义得，同理，

所以．

（2）由成等差数列，得

所以弦长

由（1）知显然斜率存在，由抛物线定义得

故，解得，

所以直线的方程为．