Question

18．函数f（x）=e^x+x²+2x+1的图象上任意点P到直线3x-y-2=0的距离的最小值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{10}}}{5}$
• B． $\frac{{3\sqrt{10}}}{20}$
• C． $\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
• D． $\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 f′（x）=e^x+2x+2，设与直线3x-y-2=0平行且与曲线f（x）相切于点Q（s，t）的直线方程为：3x-y+m=0，则e^s+2s+2=3．解得s=0，再根据点到直线的距离公式计算即可．

解答 解：f′（x）=e^x+2x+2，
设与直线3x-y-2=0平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：3x-y+m=0，
则e^s+2s+2=3．解得s=0．
∴切点为P（0，2），
∴曲线f（x）=e^x+x²+x+1上的点到直线3x-y-2=0的距离的最小值为点Q到直线3x-y-2=0的距离d=$\frac{|0-2-2|}{\sqrt{10}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查了导数的几何意义、相互平行的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题