Question

10．等差数列{a_n}中，首项a₁＞0，公差d≠0，前n项和为S_n（n∈N^*）．有下列命题
①若S₃=S₁₁，则必有S₁₄=0；    
②若S₃=S₁₁，则必有S₇是S_n中最大的项；
③若S₇＞S₈，则必有S₈＞S₉；    
④若S₇＞S₈，则必有S₆＞S₉
其中正确的命题的个数是（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①若S₃=S₁₁，求出a₇+a₈=0，即可求出S₁₄=0；    
②由等差数列的求和公式可得公差d，进而可得通项公式，可得数列{a_n}的前7项均为正数，从第8项开始为负值，可得答案．；
③若S₇＞S₈，则d＜0，且a₈＜0，则必有a₉＜0必有S₈＞S₉；    
④若S₇＞S₈，则a₇+a₈+a₉=3a₈＜0，必有S₆＞S₉

解答 解：①若S₃=S₁₁，则a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁=0，
即4（a₇+a₈）=0，即a₇+a₈=a₁+a₁₄=0，则S₁₄=$\frac{14（{a}_{1}+{a}_{14}）}{2}$=0，故①正确，；    
②∵S₃=S₁₁，
∴3×a₁+$\frac{3×2}{2}$d=11×a₁+$\frac{11×10}{2}$d，
即8a₁=-52d，则a₁=-$\frac{13}{2}$d，则d＜0
∴a_n=a₁+（n-1）d=-$\frac{13}{2}$d+（n-1）d=d（n-$\frac{15}{2}$）
令a_n=d（n-$\frac{15}{2}$）≥0，
则n-$\frac{15}{2}$≤0可解得n≤$\frac{15}{2}$，
∴等差数列{a_n}的前7项均为正数，从第8项开始为负值，
∴使得S_n最大的正整数n为7；故②正确，
③若S₇＞S₈，则d＜0，且a₈＜0，则必有a₉＜0，即S₈＞S₉成立，故③正确，
④若S₇＞S₈，则d＜0，且a₈＜0，即a₇+a₈+a₉=3a₈＜0，即S₆＞S₉成立，故④正确，
故选：D

点评 本题主要考查与等差数列有关的命题的真假判断，根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的性质是解决本题的关键．综合性较强．