题目内容
20.已知f(x)=x+$\frac{1}{x}$(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)用函数单调性定义证明:f(x)在(0,1)上是减函数.
分析 (1)运用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性;
(2)根据函数单调性的定义,运用作差法证明函数的单调性.
解答 解:(1)因为f(x)=f(x)=x+$\frac{1}{x}$,
所以,该函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
且f(-x)=(-x)+$\frac{1}{-x}$=-(x+$\frac{1}{x}$),
所以,f(-x)=-f(x),
即f(x)为奇函数;
(2)任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=x1+$\frac{1}{{x}_{1}}$-(x2+$\frac{1}{{x}_{2}}$)
=(x1-x2)+($\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$)
=(x2-x1)•$\frac{1-{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$,
因为x1,x2∈(0,1),且x1<x2,所以,x1x2∈(0,1),
所以,f(x1)-f(x2)>0恒成立,
即f(x)在(0,1)上单调递减.
点评 本题主要考查了函数奇偶性和单调性的判断和证明,应用了单调性和奇偶性的定义及作差法,属于基础题.
练习册系列答案
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11.下列说法中正确的是( )
A. | “f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件 | |
B. | 若p:?x0∈R,x02-x0-1>0,则¬p:?x∈R,x2-x-1<0 | |
C. | 若p∧q为假命题,则p,q均为假命题 | |
D. | “若$α=\frac{π}{6}$,则$sinα=\frac{1}{2}$”的逆否命题为真命题 |
15.奇函数f(x)定义域是(t,2t+3),则t=( )
A. | 1 | B. | 0 | C. | -1 | D. | -2 |
5.已知$f(x)=\frac{2^x}{{1+{2^x}}}-\frac{1}{2}$,若[x]是不超过x的最大整数,则函数y=[f(x)]-[f(-x)]的值域为( )
A. | [-1,0] | B. | {-1,1} | C. | {-1,0,1} | D. | [-1,1] |