题目内容
10．已知数列{an}中，a1=$\frac{4}{3}$，且有an+1=an2-an+1，n∈N*（I）求证：数列{an}是递增数列；
（Ⅱ）记Sn=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$，Tn=$\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{2}}•…•\frac{1}{{a}_{n}}$求证：Sn+3Tn=3．
分析 （I）由an+1=an2-an+1，n∈N*，an≠1，可得an+1-an=$（{a}_{n}-1）^{2}$＞0，即可证明．
（II）由an+1=an2-an+1，n∈N*，可得an+1-1=an（an-1），取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$．利用“裂项求和”可得Sn=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$．另一方面：由an+1-1=an（an-1），可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$，因此Tn=$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{n+1}-1}$，即可证明．
解答 证明：（I）∵an+1=an2-an+1，n∈N*，an≠1，
∴an+1-an=$（{a}_{n}-1）^{2}$＞0，
∴an+1＞an．
∴数列{an}是递增数列．
（II）∵an+1=an2-an+1，n∈N*，
∴an+1-1=an（an-1），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}=\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$．
∴Sn=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{{a}_{1}-1}-\frac{1}{{a}_{2}-1}）$+$（\frac{1}{{a}_{2}-1}-\frac{1}{{a}_{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n+1}-1}）$
=$\frac{1}{{a}_{1}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$
=3-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$．
由an+1-1=an（an-1），
可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$，
∴Tn=$\frac{1}{{a}_{1}}•\frac{1}{{a}_{2}}•…•\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{2}-1}$•$\frac{{a}_{2}-1}{{a}_{3}-1}$•…•$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{{a}_{1}-1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{3（{a}_{n+1}-1）}$，
∴Sn+3Tn=3-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$+$\frac{3}{3（{a}_{n+1}-1）}$=3．
∴Sn+3Tn=3．
点评 本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”、“累乘求积”，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于难题．
函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ≤$\frac{π}{2}$）的图象如图所示，将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位后得到函数g（x）的图象，则（ ）| A． | g（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{3π}{8}$） | B． | g（x）=$\sqrt{2}$cos2x | C． | g（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{3π}{8}$） | D． | g（x）=$\sqrt{2}$sin2x |
如图是函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f（x1）=f（x2），有f（x1+x2）=$\sqrt{3}$，则φ的值为$\frac{π}{3}$．
（1）根据茎叶图计算学生对食堂午餐评分的平均值；
（2）根据学生的评分，将学生对食堂的评分分为三个等级：
| 评分 | 低于65分 | 65分到85分 | 高于85分 |
| 评价等级 | 差 | 正常 | 优 |