Question

4．某鱼类养殖户在一个鱼池中养殖一种鱼，每季养殖成本为10000元，此鱼的市场价格和鱼池的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

鱼池产量（kg）	300	500
概　率	0.5	0.5

鱼的市场价格（元/（kg）	60	100
概　率	0.4	0.6

（Ⅰ）设X表示在这个鱼池养殖1季这种鱼的利润，求X的分布列和期望；
（Ⅱ）若在这个鱼池中连续3季养殖这种鱼，求这3季中至少有2季的利润不少于20000元的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设X表示在这个鱼池养殖1季这种鱼的利润，则X所有可能的取值为40000，20000，8000，进而可得其分布列和期望；
（Ⅱ）设C_i表示事件“第i季利润不少于20000元”（i=1，2，3），由题意知C₁，C₂，C₃相互独立，由（Ⅰ）知，P（C_i）=P（X=40000）+P（X=20000），进而可得答案．

解答 解：（Ⅰ）因为利润=产量×市场价格-成本，
所以X所有可能的取值为500×100-10000=40000，
500×60-10000=20000300×100-10000=20000，
300×60-10000=8000…（2分）
P（X=40000）=0.5×0.6=0.3，
P（X=20000）=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5
P（X=8000）=0.5×0.4=0.2…（4分）
所以X的分布列为

X	40000	20000	8000
P	0.3	0.5	0.2

则E（X）=40000×0.3+20000×0.5+8000×0.2=23600…（6分）
（Ⅱ）设C_i表示事件“第i季利润不少于20000元”（i=1，2，3），
由题意知C₁，C₂，C₃相互独立，由（Ⅰ）知，
P（C_i）=P（X=40000）+P（X=20000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3）…（8分）
3季的利润均不少于20000元的概率为$P（{C_1}{C_2}{C_3}）=P（{C_1}）P（{C_2}）P（{C_3}）={0.8^3}=0.512$，
3季中有2季利润不少于20000元的概率为$C_3^2×{（0.8）^2}×0.2=0.384$，
所以3季中至少有2季的利润不少于 20000元的概率为0.512+0.384=0.896…（12分）

点评 本题考查的知识点是离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列，难度不大，属于中档题．