题目内容
【题目】已知定义在上的函数
满足
且
,若
恒成立,则实数
的取值范围为______.
【答案】
【解析】分析:求出f(x)的解析式为f(x)=ex,结合函数图象即可得出a的范围.
详解:∵>0,∴f(x)为增函数,
∴f(f(x)﹣ex)=1,
∴存在唯一一个常数x0,使得f(x0)=1,
∴f(x)﹣ex=x0,即f(x)=ex+x0,
令x=x0可得+x0=1,
∴x0=0,故而f(x)=ex,
∵f(x)≥ax+a恒成立,即ex≥a(x+1)恒成立.
∴y=ex的函数图象在直线y=a(x+1)上方,
不妨设直线y=k(x+1)与y=ex的图象相切,切点为(x0,y0),
则,解得k=1.
∴当0≤a≤1时,y=ex的函数图象在直线y=a(x+1)上方,即f(x)≥ax+a恒成立,:
故答案为:[0,1].
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