题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,长度为2的线段EF的两端点E、F分别在两坐标轴上运动.
(1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程;
(2)设轨迹C与轴交于
两点,P是轨迹C上异于
的任意一点,直线
交直线
于M点,直线
交直线
于N点,求证:以MN为直径的圆C总过定点,并求出定点坐标.
【答案】(1);(2)
或
.
【解析】
(1)设,把
两点坐标用
表示,结合两点间的距离公式,即可求得G的轨迹C的方程;
(2)由(1)求出两点坐标,设
,分别求出直线
、直线
的方程,进而表示出M、N两点坐标,求出以MN为直径的圆C的方程,根据对称性,定点在
轴上,求出圆C与
轴的交点,即为所求.
(1)设,由中点坐标公式得
,
,整理得,
,
线段EF的中点G的轨迹C的方程为
;
(2)由(1)得,,设
,
,直线
方程为:
,
令,得
,
,同理可求
,
中点坐标为
,
以MN为直径的圆C的方程为
令,得
,圆C总过定点,定点坐标为
或
.
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