题目内容
(本题满分14分)
已知椭圆的左右焦点为,抛物线C:以F2为焦点且与椭圆相交于点M,直线F1M与抛物线C相切。
(Ⅰ)求抛物线C的方程和点M的坐标;
(Ⅱ)过F2作抛物线C的两条互相垂直的弦AB、DE,设弦AB、DE的中点分别为F、N,求证直线FN恒过定点;
已知椭圆的左右焦点为,抛物线C:以F2为焦点且与椭圆相交于点M,直线F1M与抛物线C相切。
(Ⅰ)求抛物线C的方程和点M的坐标;
(Ⅱ)过F2作抛物线C的两条互相垂直的弦AB、DE,设弦AB、DE的中点分别为F、N,求证直线FN恒过定点;
解:(Ⅰ)由椭圆方程得半焦距 …………1分
所以椭圆焦点为 …………2分
又抛物线C的焦点为 ……3分
设则,直线的方程为……4分
代入抛物线C得
与抛物线C相切,
, …………7分
(Ⅱ)设的方程为 代入,得,…8分
设,则 ………9分
, ………10分
所以,将换成 …………12分
由两点式得的方程为 …………13分
当,所以直线恒过定点 …………14分
所以椭圆焦点为 …………2分
又抛物线C的焦点为 ……3分
设则,直线的方程为……4分
代入抛物线C得
与抛物线C相切,
, …………7分
(Ⅱ)设的方程为 代入,得,…8分
设,则 ………9分
, ………10分
所以,将换成 …………12分
由两点式得的方程为 …………13分
当,所以直线恒过定点 …………14分
略
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