题目内容

(本题满分14分)
已知椭圆的左右焦点为,抛物线C:以F2为焦点且与椭圆相交于点M,直线F1M与抛物线C相切。
(Ⅰ)求抛物线C的方程和点M的坐标;
(Ⅱ)过F2作抛物线C的两条互相垂直的弦AB、DE,设弦AB、DE的中点分别为F、N,求证直线FN恒过定点;
解:(Ⅰ)由椭圆方程得半焦距        …………1分
所以椭圆焦点为                    …………2分
又抛物线C的焦点为  ……3分
,直线的方程为……4分
代入抛物线C得
与抛物线C相切,
      …………7分
(Ⅱ)设的方程为 代入,得,…8分
,则 ………9分
,    ………10分
所以,将换成      …………12分
由两点式得的方程为               …………13分
,所以直线恒过定点         …………14分
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