Question

【题目】已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上，记与的等差中项为。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和；

（Ⅲ）设集合，等差数列的任意一项，其中是中的最小数，且，求的通项公式。

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）。

【解析】

试题分析：（I）根据点都在函数的图象上，可得，再写一式，两式相减，即可求得数列的通项公式；（II）先确定数列的通项，再利用错位相减法求数列的和；（III）先确定，再确定是公差为的倍数的等差数列，利用，可得，由此可得的通项公式。

试题解析：（I）点都在函数的图像上，,当时， 当ｎ＝1时，满足上式，所以数列的通项公式为。

（II）∵为与的等差中项

∴

①

由①×4，得

①-②得：

，

。

（III）∵

∴

∵，是中的最小数，。

是公差为的倍数的等差数列，。

又，

,解得.所以，

设等差数列的公差为，则，

，∴。