题目内容

【题目】如图,四棱锥中,为等边三角形,是棱上一点.

1)证明:

2)若平面,求三棱锥的体积.

【答案】1)证明见解析;(2

【解析】

1)取中点为,连结 通过证明平面,可得

2)过,设,连,利用直线与平面平行的性质定理可得,又,所以四边形为平行四边形,所以分别为的中点,再通过计算可得,从而可得到平面的距离为,然后根据体积公式可得结果.

1)取中点为,连结 .

因为为等边三角形,

因为,所以

又因为

所以四边形为平行四边形,

因为,所以四边形为矩形,即

因为平面平面,所以平面

因为平面,所以.

2)过,设,连,则四边形为平面四边形,

因为平面,所以

因为,所以,所以四边形为平行四边形,

所以,又,所以

所以的中位线,即分别为的中点,

由(1)知平面,因为平面,所以平面平面

于点,因为平面平面,所以平面

因为为等边三角形且,点的中点,所以

中,因为,所以

所以,所以,即

所以到平面的距离为

所以.

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