题目内容
【题目】(Ⅰ)设x≥1,y≥1,证明x+yxy;
(Ⅱ)1≤a≤b≤c,证明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)根据题意,首先对原不等式进行变形有x+yxyxy(x+y)+1≤x+y+(xy)2;再用做差法,让右式﹣左式,通过变形、整理化简可得右式﹣左式=(xy﹣1)(x﹣1)(y﹣1),又由题意中x≥1,y≥1,判断可得右式﹣左式≥0,从而不等式得到证明.
(Ⅱ)首先换元,设logab=x,logbc=y,由换底公式可得:logba,logcb
,logac
,logac=xy,将其代入要求证明的不等式可得:x+y
xy;又有logab=x≥1,logbc=y≥1,借助(Ⅰ)的结论,可得证明.
证明:(Ⅰ)由于x≥1,y≥1;则x+yxyxy(x+y)+1≤x+y+(xy)2;
用作差法,右式﹣左式=(x+y+(xy)2)﹣(xy(x+y)+1)
=((xy)2﹣1)﹣(xy(x+y)﹣(x+y))
=(xy+1)(xy﹣1)﹣(x+y)(xy﹣1)
=(xy﹣1)(xy﹣x﹣y+1)
=(xy﹣1)(x﹣1)(y﹣1);
又由x≥1,y≥1,则xy≥1;即右式﹣左式≥0,从而不等式得到证明.
(Ⅱ)设logab=x,logbc=y,
由换底公式可得:logba,logcb
,logca
,logac=xy,
于是要证明的不等式可转化为x+yxy;
其中logab=x≥1,logbc=y≥1,
由(Ⅰ)的结论可得,要证明的不等式成立.
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