题目内容

设二次函数f（x）=x2+ax+1，如果f（1）＜f（2）＜f（3）＜f（4）＜f（5）＜…，则a的取值范围是
 
．
分析：根基题意可以得到二次函数f（x）的单调性，利用二次函数的性质，对称轴小于
3
2
，列出关于a的不等式，求解即可得到答案．
解答：解：∵f（1）＜f（2）＜f（3）＜f（4）＜f（5）＜…，
∴二次函数f（x）=x2+ax+1在[
3
2
，+∞）上是单调递增函数，
∵二次函数f（x）=x2+ax+1的对称轴为x=-
a
2
，且图象是开口向上的抛物线，
故-
a
2
＜
3
2
，解得a＞-3，
∴a的取值范围是a＞-3．
故答案为：a＞-3．
点评：本题考查了二次函数的性质，对于二次函数的性质要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴，以及判别式的考虑．二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关，本题的易错点在于容易把单调区间理解成[1，+∞），忽视了当f（1）=f（2）时对称轴为x=
3
2
，因此单调区间与
3
2
有关．属于中档题．
练习册系列答案
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设二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（-1）=0，对于任意的实数x都有f（x）-x≥0，并且当x∈（0，2）时，f（x）≤(
x+12
)2．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：a＞0，c＞0；
（3）当x∈（-1，1）时，函数g（x）=f（x）-mx，m∈R是单调的，求m的取值范围．
设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x1、x2满足0＜x1＜x2＜
1
a
，且函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，则有（　　）
A、x0≤
x1
2
B、x0＞
x1
2
C、x0＜
x1
2
D、x0≥
x1
2
设二次函数f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值．
设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足：当x=1时，f（x）取得最小值1，且f(0)=
32
．
（1）求a、b、c的值；
（2）是否存在实数m，n，使x∈[m，n]时，函数的值域也是[m，n]？若存在，则求出这样的实数m，n；若不存在，则说明理由．
设二次函数f（x）=x2+x+a（a＞0），若f（m）＜0，则有（　　）

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