Question

已知△AOB的一个顶点为抛物线y²=2x的顶点O,A、B两点都在抛物线上,且∠AOB=90°.
(1)证明直线AB必过一定点;
(2)求△AOB面积的最小值.

Answer 1

1、证明见解析2、当m=0时,S_△AOB的最小值为4.

(1)设直线OA的方程为y=kx,则直线OB的方程为y=-x,
由解得A()(k≠0).
同理由可得B(2k²,-2k),
∴直线AB的方程为y+2k=(x-2k²),化简得x-(-k)y-2=0.
显然过定点P(2,0).
(2)设直线AB方程为x=my+2,代入y²=2x,
得y²-2my-4=0,∴y₁+y₂=2m,y₁·y₂=-4,∴|y₁-y₂|=.
∴S_△AOB=·|OP|·|y₁-y₂|=×2×.
显然,当m=0时,S_△AOB的最小值为4.