Question

4．若a，b为不等于1的正数，且a＜b，试比较log_ab、log_a$\frac{1}{b}$、log_b$\frac{1}{b}$．

Answer 1

分析 分类讨论，利用对数函数的单调性和特殊点比较log_ab、log_a$\frac{1}{b}$、log_b$\frac{1}{b}$的大小关系．

解答 解：由于a，b为不等于1的正数，且a＜b，
①当a＞1时，∵b＞a＞1，0＜$\frac{1}{b}$＜$\frac{1}{a}$＜1，log_ab∈（1，+∞）、log_a$\frac{1}{b}$＜${log}_{a}\frac{1}{a}$=-1、log_b$\frac{1}{b}$=-1．
可得，log_ab＞log_b$\frac{1}{b}$＞log_a$\frac{1}{b}$．
②当0＜a＜1时，若1＞b＞a＞0，则 1＜$\frac{1}{b}$＜$\frac{1}{a}$，
∴log_ab=${log}_{\frac{1}{a}}\frac{1}{b}$∈（0，1）、log_a$\frac{1}{b}$∈（-1，0）、log_b$\frac{1}{b}$=-1，
∴log_ab＞log_a$\frac{1}{b}$＞log_b$\frac{1}{b}$．
若b＞1＞a＞0，则 1＜$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{b}$∈（0，1），
∴log_ab＜-1、log_a$\frac{1}{b}$＞1、log_b$\frac{1}{b}$=-1，
∴log_a$\frac{1}{b}$＞log_b$\frac{1}{b}$＞log_ab．

点评 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，注意分类的层次，属于中档题．