题目内容
【题目】已知数列的各项均为正数,其前n项的积为
,记
,
.
(1)若数列为等比数列,数列
为等差数列,求数列
的公比.
(2)若,
,且
①求数列的通项公式.
②记,那么数列
中是否存在两项
,(s,t均为正偶数,且
),使得数列
,
,
,成等差数列?若存在,求s,t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)数列的公比为1(2)①
②存在;s,t的值为
和
【解析】
(1)由得
的等式,再由
可求得
的关系,得出结论;
(2)①已知条件可变形为(
),从而可求出
,从而可得
,注意
,求积可得
;
②由①知.利用导数研究函数
的单调性得数列
的单调性:
,假设存在s,t满足题意,若
,由单调性出现矛盾,这样
,
,分别求
.即可得结论.
(1)因为数列为等差数列,
所以.
又因为,
,
,
所以(*)
因为数列为等比数列,所以
,
代入(*)得,即
,
所以,
故数列的公比为1.
(2)①当时,由
得,
从而
又因为,
,
所以
故,
,
所以.
综上,数列的通项公式为
.
②由①知.
记,则
,
从而函数在
上单调递增,在
上单调递减.
又因为,
所以.
假设存在s,t满足题意,若,
则,
,所以
,不合题意,
所以s只能为2,4,6,且.
(i)当时,由
,得
,
故.
由数列的单调性可知存在唯一的
满足题意.
(ii)当时,由
,得
,
故.
同(i)知.
(ⅲ)当时,由
,得
故.
又因为,
由数列的单调性知
,故
,
但不成立,所以与题意不符.
综上,满足条件的s,t的值为和
.
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