题目内容
19.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于30.分析 设等比数列{an}的公比是q,则q>0且q≠1,根据题意和等比数列的前n项和公式列出方程组,通过消元和因式分解求出qn和$\frac{{a}_{1}}{1-q}$的值,再求出S4n的值.
解答 解:由题意设等比数列{an}的公比是q,则q>0且q≠1,
∵Sn=2,S3n=14,∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}(1-{q}^{n})}{1-q}=2}\\{\frac{{a}_{1}(1-{q}^{3n})}{1-q}=14}\end{array}\right.$,
两式相除可得,q3n-7qn+6=0,则q3n-1-7(qn-1)=0,
即(qn-1)(q2n+qn-6)=0,解得qn=1或2或-3,则qn=2,
代入$\frac{{a}_{1}(1-{q}^{n})}{1-q}$=2得,$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=-2,
∴S4n=$\frac{{a}_{1}(1-{q}^{4n})}{1-q}$=30,
故答案为:30.
点评 本题考查等比数列的前n项和公式,以及整体代换求值,注意q与1的关系,考查化简、计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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9.根据下面一组等式
S1=1,
S2=2+3=5,
S3=4+5+6=15,
S4=7+8+9+10=34,
S5=11+12+13+14+15=65,
S6=16+17+18+19+20+21=111,
S7=22+23+24+25+26+27+28=175,
…
可得S1+S3+S5+…+S2n-1=( )
S1=1,
S2=2+3=5,
S3=4+5+6=15,
S4=7+8+9+10=34,
S5=11+12+13+14+15=65,
S6=16+17+18+19+20+21=111,
S7=22+23+24+25+26+27+28=175,
…
可得S1+S3+S5+…+S2n-1=( )
A. | 2n2 | B. | n3 | C. | 2n3 | D. | n4 |
7.f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )
A. | (-∞,-3)∪(0,3) | B. | (-∞,-3)∪(3,+∞) | C. | (-3,0)∪(3,+∞) | D. | (-3,0)∪(0,3) |
9.如图,在△ABC中,D为边BC的中点,则下列结论正确的是( )
A. | $\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$ | B. | $\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BC}$ | C. | $\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AD}$ | D. | $\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{BC}$ |