题目内容

19.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于30.

分析 设等比数列{an}的公比是q,则q>0且q≠1,根据题意和等比数列的前n项和公式列出方程组,通过消元和因式分解求出qn和$\frac{{a}_{1}}{1-q}$的值,再求出S4n的值.

解答 解:由题意设等比数列{an}的公比是q,则q>0且q≠1,
∵Sn=2,S3n=14,∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}(1-{q}^{n})}{1-q}=2}\\{\frac{{a}_{1}(1-{q}^{3n})}{1-q}=14}\end{array}\right.$,
两式相除可得,q3n-7qn+6=0,则q3n-1-7(qn-1)=0,
即(qn-1)(q2n+qn-6)=0,解得qn=1或2或-3,则qn=2,
代入$\frac{{a}_{1}(1-{q}^{n})}{1-q}$=2得,$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=-2,
∴S4n=$\frac{{a}_{1}(1-{q}^{4n})}{1-q}$=30,
故答案为:30.

点评 本题考查等比数列的前n项和公式,以及整体代换求值,注意q与1的关系,考查化简、计算能力,属于中档题.

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