题目内容
10.在平面直角坐标系中,已知两点A(-3,0)及B(3,0),动点Q到点A的距离为10,线段BQ的垂直平分线交AQ于点P.(Ⅰ)求|PA|+|PB|的值;
(Ⅱ)求点P的轨迹方程.
分析 (Ⅰ)根据线段中垂线的性质可得|PA|+|PB|的值;
(Ⅱ)据椭圆的定义判断轨迹椭圆,求出a、b值,即得椭圆的标准方程.
解答 解:(Ⅰ)∵线段BQ的垂直平分线交AQ于点P,
∴|PB|=|PQ|,
∴|PA|+|PB|=|PA|+|PQ|=|AQ|=10;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知|PA|+|PB|=10(常数),又|PA|+|PB|=10>6=|AB|,
∴点P的轨迹是中心在原点,以A,B为焦点,长轴在x轴上的椭圆,其中2a=10,2c=6,
∴椭圆的轨迹方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$.
点评 本题考查椭圆的定义、椭圆的标准方程,得出|PA|+|PB|=10>6=|AB|,是解题的关键和难点.
练习册系列答案
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20.已知向量$\overrightarrow{AB}$=(-3,a),$\overrightarrow{AC}$=(1-a,2),若A,B,C三点共线,则a=( )
A. | 3或-2 | B. | 2或-3 | C. | $\frac{3}{5}$ | D. | 3 |